π = 3

Нас спрашивают:

А вы можете придумать такую нетрансцендентную метрику, чтоб пи в ней стабильно было равно трём? не четырём, не два корня из двух, а именно ровно трём.

А вот однако можем, но, видимо, это случайность.
Точнее, тут надо придумывать не метрику, а целую топологию и геометрию.
Этим требованиям удовлетворяет дискретное топологическое пространство, представленное вершинами равносторонних треугольников, плотно и без перекрытий заполняющих двумерную плоскость R².
Как я понимаю, это определяет топологическое пространство вполне, кроме того, можно ввести геометрические сущности: расстояние будем считать по минимальному количеству шагов между точками (и обычно таких путей много, но есть набор минимальных).
Окружность радиуса 1 (диаметра 2) будет представлена шестиугольником со стороной 1. Окружность радиуса n (диаметра 2n) будет представлена шестиугольником со стороной n.
Таким образом, периметр шестиугольника, представляющего окружность диаметра 2n, будет равен 6n, а число π будет равно 6n/2n = 3.
Так-то!